HIPÉRBOLA VERTICAL CON CENTRO EN EL ORIGEN
En la siguiente figura , sen los focos los dos puntos fijos F(c , 0) y F'(-c , 0) y 2a la diferencia constante, donde observamos que (c > a). Además, consideremos un punto genérico P(x , y) que pertenezca al lugar geométrico.
La hipérbola tiene dos tipos de vértices: los vértices reales que son los que cortan el eje focal o eje real y los vértices imaginarios.
Se llama eje real o transversal de la hipérbola, al eje sobre el cual están los focos, y es la distancia de vértice a vértice igual a 2a.
Se llama eje imaginario al eje perpendicular al eje real y su magnitud es 2b.
Por
lo tanto, para obtener la ecuación general de la hipérbola:
F'P - PF = 2a
Aplicando
la fórmula de la distancia
Para
eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad
Elevamos
al cuadrado ambos miembros de la igualdad
Desarrollamos
y2 + 2yc + c2 + x2 = 4a2 + 4a 
+ y2 - 2yc + c2 + x2
Simplificamos
4a
=
-4a2 + 4yc
Dividimos
entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical
= -a2 + yc
Volvemos
a elevar al cuadrado para eliminar el radical
a2(y2 - 2yc + c2 + x2) = a4
- 2a2yc + y2c2
Reduciendo
términos semejantes
y2c2 - a2y2 - a2x2
= a2c2 - a4
Factorizando
y2(c2 - a2) - a2x2 =
a2(c2 - a2)
Dividiendo
la igualdad entre el producto a2(c2 - a2)
Haciendo c2 - a2 = b2, por consiguiente, la ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen es:
La ecuación sólo contiene potencias pares de x y y, la curva también es simétrica con respecto al origen y con respecto a los ejes.
La excentricidad es mayor a la unidad
>
1
o por la relación del punto a un foco con respecto del mismo punto a la directriz ubicada la mismo lado del foco.
El lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor por uno de los focos y su longitud la calculamos por
mientras que las ecuaciones de las directrices son:
y
= 
Las ecuaciones de las asíntotas son:
y
= 
x