ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

Elipse Horizontal con centro en el origen

Para obtener la ecuación general de la elipse:
F'P + PF = 2a

Aplicando la fórmula de la distancia

Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos
x² + 2xc + c² + y² = 4a² - 4a + x² - 2xc + c² + y²

Simplificamos
4a = 4a² - 4xc

Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical
= a² - xc

Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical
a²(x² - 2xc + c² + y²) = a⁴ - 2a²xc + x²c²

Reduciendo términos semejantes
a²x² - x²c² + a²y² = a⁴ - a²c²

Factorizando
x²(a² - c²) + a²y² = a²(a² - c²)

Dividiendo la igualdad entre el producto a²(a² - c²)

Como a² > c² entonces a² - c² es positivo, podemos hacer a² - c² = b, por consiguiente, la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es:

Elipse vertical con centro en el origen.

Para obtener la ecuación general de la elipse:
F'P + PF = 2a

Aplicando la fórmula de la distancia

Para eliminar los radicales, trasladamos uno de ellos al segundo miembro de la igualdad

Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad

Desarrollamos
y² + 2yc + c² + x² = 4a² - 4a + y² - 2yc + c² + x²

Simplificamos
4a = 4a² - 4yc

Dividimos entre 4 ambos miembros de la igualdad e introducimos a al radical
= a² - yc

Volvemos a elevar al cuadrado para eliminar el radical
a²(y² - 2yc + c² + x²) = a⁴ - 2a²yc + y²c²

Reduciendo términos semejantes
a²y² - y²c² + a²x² = a⁴ - a²c²

Factorizando
y²(a² - c²) + a²x² = a²(a² - c²)

Dividiendo la igualdad entre el producto a²(a² - c²)

Como a² > c² entonces a² - c² es positivo, podemos hacer a² - c² = b, por consiguiente, la ecuación de la elipse vertical con centro en el origen es:

La excentricidad es menor a la unidad y queda definida por la relación de la mitad de la distancia focal al semieje mayor.

El Lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos y su longitud la calculamos por:

Mientras que las ecuaciones de las directrices son:

Cuando la elipse es horizontal.

x =

Cuando la elipse es vertical.

y =

Eje Mayor = 2a
Eje Menor = 2b